TEORI PROBABILITAS
PERTEMUAN ke- I - II
Teorema probabilitas
Tujuan : Mahasiswa mampu menjelaskan teori probabilitas, teorema bayes dan perhitungan ekspektasi matematis.
Materi :
Himpunan adalah;
Sekelompok objek yang didefinisikan dengan jelas dan dapat dibeda-bedakan
1. Permutasi dan kombinasi
a. Prinsip dasar membilang
Jika kejadian pertama ada n1 cara, kejadian ke-2 ada n2 cara, dan seterusnya kejadian ke k ada nk cara. Maka banyaknya kejadian adalah : n1 x n2 x … x nk
b. Faktorial; n! = n ( n-1) (n-2) (n-3) …2 x 1. = n(n-1)!, dimana 1!=0!=1
b. Pengertian permutasi
Pengaturan beberapa obyek ke dalam suatu urutan tertentu
Rumus permutasi:
1. Permutasi n objek tanpa pengembalian; nPn = n!
2. Permutasi r dari n objek; nPr = n! / (n-r)!, ( n ≥ r )
3. Permutasi melingkar; penyusunan objek berbeda dengan (n-1) cara
4. Permutasi dari n objek dengan pengembalian; nPr = n pangkat r ( n≤ r )
5. Permutasi n objek yang sama; nPn1, n2, n3, …. = n! / (n1! n2! n3! …. )
Contoh soal permutasi n objek tanpa pengembalian :
Bagus memiliki 9 buku; 4 buah buku matematika, 3 buah buku ekonomi, dan 2 buah buku statistik. Ada berapa cara penyusunan buku yang dapat dilakukan oleh Bagus?
Jawab :
Cara menyusun buku matematika ada 4P4 = 4! = 4x3x2x1 = 24 cara
Cara menyusun buku ekonomi ada 3P3 = 3! = 3x2x1 = 6 cara
Cara menyusun buku statistic ada 2P2 = 2! = 2x1 = 2 cara
Penyusunan ke-3 macam buku berdasar kelompok (subjek) = 3P3! = 3x2x1 = 6 cara
Penyusunan buku berdasar kelompok (subjek) dengan memperhatikan urutan penyusunan dalam masing-masing kelompok = 4!x3!x2!x3! = 24 x 6 x 2 x 6 = 1.728 cara.
Contoh soal permutasi r dari n objek:
Dari contoh soal diatas, akan diambil 2 buku matematika, 2 buku ekonomi dan 1 buku statistik, Ada berapa cara pemilihan buku-buku tersebut?
Jawab :
Cara memilih buku matematika = 4P2 = 4!/(4-2)! =24/2 = 12 cara
Cara memilih buku ekonomi = 3P2 = 3!/(3-2)! = 6/1 = 6 cara
Cara memilih buku statistik = 2P1 = 2!/1! = 2/1 = 2 cara
Cara memilih ketiga buku dengan memperhatikan urutan pengambilan buku = 4P2 x 3P2 x 2P1 x 3! =12 x 6 x 2 x 6 = 864 cara
Contoh soal permutasi melingkar:
5 orang duduk mengelilingi meja bundar. Dengan berapa cara mereka dapat diatur mengelilingi meja tersebut?
Jawab : n=5, P=(n-1)! = 4! = 24 cara
Contoh soal permutasi dari n objek dengan pengembalian:
Tentukan permutasi penyusunan 3 huruf vocal dengan pengembalian unsur yang dipilih !
Jawab: n=5, 5P3 = 5³ = 125 cara
Contoh soal permutasi dari n objek yang sama:
Tentukan permutasi dari kata “KATAK”!
Jawab : n=5, n1=2, n2=2, n3=1
5P2,2,1 = 5!/(2!x2!x1!) = 120/4 =30 cara
c. Pengertian kombinasi
Penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan
Rumus kombinasi n
Kombinasi r dari n objek yang berbeda; Сr = n! / r!(n-r)! ( n ≥ r )
Contoh soal :
Dalam kejuaraan sepak bola, team nasional Indonesia mengirim 13 orang pemain, berapa banyak kombinasi pemain yang mungkin terbentuk?
Jawab: n=13, r=11
13
C11 = 13! / (11! x (13-11)! ) = 78 cara
d. Hubungan permutasi dan kombinasi n n
Pr = r! Сr
2. Probabilitas
Adalah indeks/nilai untuk menentukan tingkat terjadianya suatu kejadian secara random, nilainya antara 0 s/1 atau ( 0 ≤ P ≤ 1 ).
P = 0, artinya kejadian/peristiwa tidak terjadi.
P = 1, artinya kejadian/peristiwa pasti terjadi.
0 ≤ P ≤ 1, artinya ada kemungkinan peristiwa/kejadian terjadi atau tidak.
Cara menentukan probabilitas :
a. Pendekatan klasik; P(A) = X/n
b. Pendekatan frekuensi relatif P(Xi) = limit fi/n
c. Pendekatan subyektif n ∞
Tingkat kepercayaan individu pada peristiwa masa lalu yang berupa terkaan
Probabilitas beberapa peristiwa :
Mutually exclusive / saling lepas P(AUB) = P(A) + P(B)
Non exclusive / tidak saling lepas P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Peristiwa Independen / saling lepas
a. Probabilitas marginal; peristiwa terjadi dan tidak ada hubungan dengan peristiwa yang lain. Contoh pelemparan sebuah mata uang, Probabiltas keluar angka P(A) = 0,5, probabilitas keluar gambar P(G) = 0,5.
b. Probabilitas gabungan; terjadinya peristiwa dua kali atau lebih secara berurutan, dimana masing-masing tidak saling mempengaruhi.
Sebuah mata uang dan sebuah dadu dilepar bersama. Berapa probabilitas keluar gambar dan mata 4?
P(A dan B) = ½ x 1/6 = 1/12
c. Probabilitas bersyarat P(B/A) = P(B)
Sebuah mata uang dilepar dua kali, jika pada pelemparan pertama keluar angka, berapa probabilitas keluarnya angka pada pelemparan ke-2?
P(B/A) = ½
Peristiwa Dependen / saling terikat
a. Probabilitas marginal; P(A) = ∑ P(B∩A) = ∑P(Ai).P(B/Ai)
Jika terjadinya suatu peristiwa tidak berhubungan dengan terjadinya peristiwa lainnya.
Contoh:
4 kantor cabang suatu bank melayani masing-masing 100, 75, 125 dan 150 orang nasabah setiap harinya. Nasabah yang datang dengan keluahan ke masing-masing kantor cabang tersebut sebanyak, 2, 2, 1 dan 3 orang. Berapa probabilitas seorang nasabah yang datang dengan keluhan?
Jawab:
A1 = 100 P(A1) =100/450 =0,222
A2 = 75 P(A2) =75/450 =0,167
A3 = 125 P(A3) =125/450 =0,278
A4 = 150 P(A4) =150/450 =0,333
P(B/A1) = 2/100 = 0,020
P(B/A2) = 2/75 = 0,027
P(B/A3) = 1/125 =0,008
P(B/A4) =3/150 =0,020
`
P(A)= P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + P(A3).P(B/A3) + P(A4).P(B/A1)
= 0,222x0,020 + 0,167x0,027 + 0,278x0,008 + 0,333x0,020
=0,004 + 0,004 + 0,002 + 0,007
= 0,018
b. Probabilitas gabungan; P(A dan B) = P(A∩B) = P(A).P(B/A)
Terjadinya peristiwa dua atau lebih secara berurutan ( bersamaan ) dan saling memepengaruhi
Contoh:
Seorang mahasiswa memiliki probabilitas lulus ujian statistic sebesar 0,6 dan probabilitas lulus ujian matematika 0,8 jika telah lulus ujian statistik. Tetukan probabilitas kelulusan mahasiswa tersebut pada ujian matematika dan statistika?
Jawab:
P(S) = 0,6
P(M/S) = 0,8
P(S∩M) = P(S). P(M/S) = 0,6 x 0,8 = 0,48
c. Probabilitas bersyarat P(B/A) = P(B∩A) / P(A)
Terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa lain harus terjadi dan saling mempengaruhi
Contoh:
Suatu pelatihan diikuti 100 orang peserta, 55 orang wanita, 25 diantara berpakaian jas, dan 45 orang pria, 40 diantara berpakaian jas. Berapa probabilitas wanita yang tidak memakai jas?
Jawab:
Perhatikan tabel berikut :
Peserta pelatihan Memakai jas Tidak memakai jas (A) Total
Wanita ( B )
Pria 25
40 30
5 55
45
Total 65 35 100
P(A) = 35/100
P(B∩A) = 30/100
P(B/A) = P(B∩A) / P(A) =( 30/100) / (35/100) = 85,7%
3. Teorema Bayes
Hubungan antara probabilitas terjadinya suatu peristiwa (A) dengan syarat peristiwa lain telah terjadi, dan probabilitas terjadinya peristiwa (X) dengan syarat peristiwa A telah terjadi.
P(Ai/Xi)= [P(Ai) P(Xi/ Ai)]/ [∑P(Ai) P(Xi/ Ai)]
4. Ekspektasi matematis E(X) = ∑X.P(X)
Bahan diskus:
Seorang akuntan menghadapi pilihan untuk segera mengambil keputusan.Apakah ia harus menerima atau menolak suatu pekerjaan dengan gaji Rp. 250.000,- per bulan dengan harapan memperoleh pekerjaan lain dengan gaji Rp. 400.00,- per bulan. Bila menolak pekerjaan dengan gaji Rp. 250.000,-, berapa probabilitas ia memperoleh pekerjaan dengan gaji Rp. 400.000,- per bulan ?
Bahan Bacaan :
1. Hasan, M. Iqbal. 2003. Pokok-pokok materi Statistik 2 ( Statistik Inferensif ), edisi ke dua. Jakarta. PT. Bumi Aksara
2. Wirawan Nata. 2002. Cara mudah memahami statistik 2 ( statistik inferensha)untuk ekonomi dan bisnis, edisi kedua.Denpasar, Kerakamas.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar